一开始,你有序列[1,n][1, n]的一棵线段树,有mm次操作/询问

  • 1 l r:在操作队列里加上l, r这个操作。
  • 2:询问当前操作队列,每个操作是否执行,总共2k2^{k}kk为操作数)种方案中, 线段树上tag11 的节点个数的总和。答案对998244353998244353取模

在线段树上的一次操作[l,r][l, r],就是把线段树上所有被[l,r][l, r]完全覆盖的极大区间的tag设为11

n,m105n, m\le 10^5

LOJ 3043

Solution

考虑在线段树上模拟这个过程,统计每个节点在2k2^k种方案中,tag11的次数分别是多少

显然每次只需要考虑新加进来一个操作后,对当前节点答案产生的影响

不难注意到,对于第kk个操作[x,y][x, y],造成不同影响的节点[l,r][l, r]一共有44类:

19-4-2-1

  1. xl,ryx\le l, r\le y,且该结点被访问过

    也就是线段树访问到的最底层的那一类节点

    无论之前的操作是什么样,这一次它的tag一定为11,即答案加上2k12^{k-1}

  2. 除第11类之外,剩下被访问过的节点

    这些节点的tag都会在这一次操作中被下放,即答案没变

  3. 22类节点除了第11类节点之外的儿子

    这些节点不会被访问,但是标记会被下放到这里。那么这些点的答案会加上从根节点到该点的路径上,存在tag=1的节点的方案数,设它为fif_i,先不管怎么求

  4. 剩下的所有节点

    无论当前操作执不执行都对它们没影响。所以它们的答案要乘22

123类节点可以通过线段树上遍历打标记去维护,但显然第44类节点的答案不能直接遍历去算

可以先把答案减掉当前操作123类节点之前对答案的贡献,把答案乘22,再加上当前操作123类节点对答案的贡献


然后考虑如何求 ,依旧分类讨论

  • 所有满足xl,ryx\le l, r\le y的节点(不要求被访问)。也就是11类节点以及它们的所有后代

    显然这些节点当前到根的路径上存在tag=1的节点

    这些点的ff 加上2k12^{k-1}

  • 上面的第 类节点

    显然所有根到它路径上的tag在这一次之后都被下放,ff值不变

  • 其他所有节点

    这次操作对它们没有影响,ff值乘

的部分依旧是线段树上打加法乘法标记来维护


代码也许(?)比较清晰

Code

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#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define y1 Y1
#define y2 Y2
#define mp make_pair
#define pb push_back

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> pii;

template <typename T> inline int Chkmax (T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline int Chkmin (T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline T read ()
{
T sum = 0, fl = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fl = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + ch - '0';
return sum * fl;
}

inline void proc_status ()
{
ifstream t ("/proc/self/status");
cerr << string (istreambuf_iterator <char> (t), istreambuf_iterator <char> ()) << endl;
}

const int Maxn = 1e5 + 100;
const int Mod = 998244353;

inline void Add (int &a, int b) { if ((a += b) >= Mod) a -= Mod; }
inline void Mul (int &a, int b) { a = (LL) a * b % Mod; }

int N, M, ans;

namespace SEG
{
#define mid ((l + r) >> 1)
#define ls root << 1
#define rs root << 1 | 1
#define lson ls, l, mid
#define rson rs, mid + 1, r

struct info
{
int val, val_mul;
int f, f_add, f_mul;
} node[Maxn << 2];

inline void build (int root, int l, int r)
{
node[root].val_mul = node[root].f_mul = 1;
if (l == r) return ;
else build (lson), build (rson);
}

inline void push_val_mul (int root, int x)
{
Mul (node[root].val, x);
Mul (node[root].val_mul, x);
}

inline void push_f_add (int root, int x)
{
Add (node[root].f, x);
Add (node[root].f_add, x);
}

inline void push_f_mul (int root, int x)
{
Mul (node[root].f, x);
Mul (node[root].f_mul, x);
Mul (node[root].f_add, x);
}

inline void push_down (int root)
{
if (node[root].val_mul != 1)
{
push_val_mul (ls, node[root].val_mul),
push_val_mul (rs, node[root].val_mul);
node[root].val_mul = 1;
}

if (node[root].f_mul != 1)
{
push_f_mul (ls, node[root].f_mul),
push_f_mul (rs, node[root].f_mul);
node[root].f_mul = 1;
}

if (node[root].f_add)
{
push_f_add (ls, node[root].f_add),
push_f_add (rs, node[root].f_add);
node[root].f_add = 0;
}
}

inline int update (int root, int l, int r, int x, int y, int pow2)
{
if (r < x || y < l)
{
Add (ans, Mod - node[root].val);

Add (node[root].val, node[root].f);
push_f_mul (root, 2);
Mul (node[root].val_mul, 2);

return node[root].val;
}

if (x <= l && r <= y)
{
Add (ans, Mod - node[root].val);

Add (node[root].val, pow2);
push_f_add (root, pow2);
Mul (node[root].val_mul, 2);

return node[root].val;
}

push_down (root);
int sum = node[root].val; Add (ans, Mod - node[root].val);

Add (sum, update (lson, x, y, pow2));
Add (sum, update (rson, x, y, pow2));

return sum;
}

#undef mid
#undef ls
#undef rs
#undef lson
#undef rson
}

inline void Solve ()
{
SEG :: build (1, 1, N);
int sum = 1;
while (M--)
{
int op = read<int>();
if (op == 1)
{
int l = read<int>(), r = read<int>();

int now_ans = SEG :: update (1, 1, N, l, r, sum);

ans = (2ll * ans % Mod + now_ans) % Mod;
sum = (LL) sum * 2 % Mod;
}
else printf("%d\n", ans);
}
}

inline void Input ()
{
N = read<int>(), M = read<int>();
}

int main()
{

#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in", "r", stdin);
freopen("A.out", "w", stdout);
#endif

Input ();
Solve ();

return 0;
}