「CF838D」Airplane Arrangements - 概率

nn 个位置排成一排,有 mm 个人依次进场选位置

每个人开始会选择一个方向(从左至右或从右至左)并选择一个位置。他会走到他选择的那个位置,如果那个位置被人占用了,他会沿着他选择的方向一路走到第一个空位并坐下。

求有多少种情况满足每个人都有座位。

1mn1061\le m \le n\le 10^6

CF838D

Solution

新加入一个n+1n+1号点,把所有点看成一个环

每个人从选择的位置开始,往顺时针/逆时针走,找到第一个空座位就坐下

一旦n+1n+1这个点被占据,就说明有人找不到座位,所以题目转化为求n+1n+1这个点没被占据的方案数

原题中总方案数是(2n)m(2n)^m的,但在这里我们假设每个人都有可能从n+1n+1出发,即总方案数为(2n+2)m(2n+2)^m,这样就能保证每个点是等价的,且对答案不会产生影响(从n+1n+1出发的答案都是不合法的)

所以每个点被占据的概率相同,均为mn+1\frac{m}{n+1}

因此n+1n+1这个点没有被占据的概率就是n+1mn+1\frac{n+1-m}{n+1}

答案即为总方案数乘概率

Summary

在所有点等价的情况下,如果某个东西的方案数不好算,可以考虑用总方案数乘上这个时间发生的概率

Code

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#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define y1 Y1
#define y2 Y2
#define mp make_pair
#define pb push_back

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;

template <typename T> inline int Chkmax (T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline int Chkmin (T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }

inline void proc_status()
{
ifstream t ("/proc/self/status");
cerr << string (istreambuf_iterator <char> (t), istreambuf_iterator <char> ()) <<endl;
}

template <typename T> T read ()
{
T sum = 0, fl = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fl = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + ch - '0';
return sum * fl;
}

const int Maxn = 1000000 + 100, Mod = 1e9 + 7;

int N, M;

inline int Pow (int a, int b)
{
int ans = 1;
for (int i = b; i; i >>= 1, a = 1ll * a * a % Mod) if (i & 1) ans = 1ll * ans * a % Mod;
return ans;
}

inline void Solve ()
{
printf("%lld\n", 1ll * Pow((2ll * N + 2) % Mod, M) * (N + 1 - M) % Mod * Pow(N + 1, Mod - 2) % Mod);
}

inline void Input ()
{
N = read<int>(), M = read<int>();
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("D.in", "r", stdin);
freopen("D.out", "w", stdout);
#endif
Input();
Solve();
return 0;
}
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